Визуальное доказательство теоремы Пифагора


Теорема Пифагора, несомненно, одна из самых известных формул — классика математики средней школы и основа математического образования. Разумеется, вы знакомы с ней:

«В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

Друими словами, существует уравнение вида:

a² + b² = c²,

в котором a и b  — катеты, а c  —  гипотенуза прямоугольного треугольника.

Имеется множество способов доказать эту теорему. Об одном из них я ранее уже писал (см. «Оригинальное доказательство теоремы Пифагора»).

Сейчас я покажу еще одно доказательство. Да-да, именно покажу, поскольку это доказательство визуальное. Разумеется некоторые математические формулы нам понадобятся, но они будут лишь комментировать иллюстрации.

Возьмем два квадрата, стороны которых равны катетам (a и b) и поместим их в больший квадрат со стороной, равной a+b.

Очевидно, что в нашем рисунке и b²  —  это квадраты катетов прямоугольного треугольника.

Разделим оставшуюся площадь большого квадрата на два прямоугольника.

Очевидно, что у верхнего прямоугольника одна из сторон равна a. Вторая сторона легко вычисляется — это b (a+b–a).

Аналогично у нижнего прямоугольника одна из сторон — это b, а вторая сторона равна a (a+b–b).

Как видим, наши прямоугольники равны — они имеют одинаковые стороны a и b. Площадь этих прямогуольников равна ab.

Таким образом, площадь большого квадрата (a + b)² равна сумме площадей четырех форм внутри него: a² + b² + ab + ab или эквивалентно:

Запомним это равенство, оно нам еще пригодится.

Теперь в каждом из наших одинаковых прямоугольниках проведем диагональ и назовем ее c.

Мы получили четыре прямоугольных треугольника с гипотенузой с и катетами a и b.

А теперь выполним небольшую манипуляцию. Удалим из большого квадрата малые квадраты и и повернем два внутренних треугольника так, чтобы они были были расположены вдоль краев большого квадрата.

Мы получили еще один квадрат со стороной с и площадью .

Но, поскольку площадь большого квадрата (со стороной a+b) осталась неизменной, а ранее мы из этого квадрата удалили малые квадраты и , то новый квадрат полностью занял их место. А, следовательно:

Теорема Пифагора доказана!

*  *  *

Для самых дотошных мы распишем это визуальное доказательство в уравнениях.

Как видно из последнего рисунка, площадь большого квадрата (a+b)² состоит из площади квадрата и площадей четырех прямоугольных треугольников со сторонами a и b. Как известно, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов или 1/2(ab)

Имеем уравнение:

Или упрощая:

Теперь у нас есть две формулы для площади большого квадрата (a+b)². Это что означает, что существует равенство:

Сокращая обе части уравнения на 2ab, получаем:

Что и требовалось доказать! 



Комментарии 3


@uanix, поздравляю! Вы добились некоторого прогресса на Голосе и были награждены следующими новыми бейджами:

Награда за количество полученных голосов

Вы можете нажать на любой бейдж, чтобы увидеть свою страницу на Доске Почета.
Чтобы увидеть больше информации о Доске Почета, нажмите здесь

Если вы больше не хотите получать уведомления, ответьте на этот комментарий словом стоп

Голосуя за это уведомление, вы помогаете всем пользователям Голоса. Узнайте, как здесь.

06.04.2018 18:24
0

Ваш пост поддержали следующие Инвесторы Сообщества "Добрый кит":
aim, analise, vas, narin, max-max, lelya, urii, tom123, ladyzarulem, gryph0n, tnam0rken, vika-teplo, lenutsa, felicita, hyipov, amelina.elena, kertar, bag, xsen, anr, benken, leonid96, brainmechanic, sinilga, vp-cosmos, ed-cetera
Поэтому я тоже проголосовал за него!

Узнать подробности о сообществе можно тут:
Разрешите представиться - Кит Добрый
Правила
Инструкция по внесению Инвестиционного взноса
Вы тоже можете стать Инвестором и поддержать проект!!!


Если Вы хотите отказаться от поддержки Доброго Кита, то ответьте на этот комментарий командой "!нехочу"


dobryj.kit теперь стал Делегатом! Ваш голос важен для всего сообщества!!!
Поддержите нас:

07.04.2018 13:49
0
10.04.2018 14:33
0
Моя страницаНастройкиВыход
Отмена Подтверждаю
100%
Отмена Подтверждаю
Отмена Подтверждаю